By Bernhard Riemann

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6. Der Hilbertraum der Quantenmechanik ist ein unendlichdimensionaler euklidischer Raum. Insbesondere trägt er eine euklidische Maßstruktur. Nach diesem etwas längeren Vorgriff kehren wir nun aber wieder zur historischen Entwicklung vor Riemann zurück. 4 Die Entwicklung der Geometrie: nichteuklidische Geometrie und Differentialgeometrie Ein Leitproblem in der Entwicklung der Geometrie war das Parallelenproblem. Das 5. Postulat oder 11. Axiom Euklids besagt, „daß, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, daß innen auf derselben Seite entstehende Winkel 37 Allerdings werden dann nach Riemann allgemeinere Raumkonzepte eingeführt, die diese Bedingung der Approximierbarkeit durch einen euklidischen Raum aufgeben, beispielsweise die sog.

J. Böhm und H. Reichardt, Leipzig, 1984. S. 4 Die Entwicklung der Geometrie: nichteuklidische Geometrie und Differentialgeometrie 25 war seine Unterscheidung zwischen geometrischen Größen, die sich allein durch Messungen auf der Fläche selbst bestimmen lassen, und solchen, zu deren Bestimmung auch Messungen außerhalb der Fläche im umgebenden Raum erforderlich sind, also die Unterscheidung zwischen innerer und äußerer Geometrie von Flächen im Raum. Als fundamentale Größe der inneren Geometrie identifizierte Gauß die dann nach ihm benannte Gaußsche Krümmung, welcher Riemann dann eine neuartige Interpretation und weitreichende Verallgemeinerung gab.

Hauptkrümmungen einer Fläche S in einem gegebenen Punkt P. Zu deren Bestimmung betrachtet man die Ebenen, die S in P senkrecht schneiden. Der Schnitt zwischen einer solchen Ebene und S (auch Normalenschnitt genannt) ist dann (in der Nähe von P) eine Kurve c auf S. Diese Kurve besitzt dann eine (mit Vorzeichen gemessene) Krümmung k. 43 Diese beiden Hauptkrümmungen hängen i. a. von der Gestalt der Fläche im Raum ab. Gauß leitet dann aber den bemerkenswerten Satz (sog. Theorema egregium) her, dass das Produkt K = k  ⋅ k  nicht mehr von dieser Lage abhängt, somit eine Größe der inneren Geometrie ist.

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